Question

8．已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}中的元素都是正整數(shù)，且a_l＜a₂＜…＜a_n，集合A具有性質(zhì)P：對(duì)任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥$\frac{xy}{25}$．給出下列命題：
①集合{1，2，3，4}不具有性質(zhì)P；    
②$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_n}≥\frac{n-1}{25}$；
③不等式i（n-i）＜25對(duì)于i=1，2，…，n-1均成立；  
④A中最多可以有10個(gè)元素．
其中正確命題的序號(hào)是②③（將所有正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 ①利用性質(zhì)對(duì)任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥$\frac{xy}{25}$，代入即可判斷；
②依題意有|a_i-a_i+1|≥$\frac{{a}_{i}{a}_{i+1}}{25}$（i=1，2，n-1），又a₁＜a₂＜…＜a_n，因此 a_i+1-a_i≥$\frac{{a}_{i}{a}_{i+1}}{25}$（i=1，2，n-1）．由此能夠證明$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_n}≥\frac{n-1}{25}$；
③由$\frac{1}{{a}_{1}}$＞$\frac{n-1}{25}$，a≥1可得 1＞$\frac{n-1}{25}$，因此n＜26．同理$\frac{1}{{a}_{i}}-\frac{1}{{a}_{n}}≥\frac{n-i}{25}$，由a_i≥i即可得判斷；
④由③，結(jié)合不等式可推導(dǎo)出n≤9．

解答 解：①由于|1-2|$≥\frac{1×2}{25}$，|1-3|$≥\frac{1×3}{25}$，|1-4|$≥\frac{1×4}{25}$，
|2-3|$≥\frac{2×3}{25}$，|2-4|$≥\frac{2×4}{25}$，|3-4|$≥\frac{3×4}{25}$，
∴集合{1，2，3，4}具有性質(zhì)P，故不正確；
②依題意有|a_i-a_i+1|≥$\frac{{a}_{i}{a}_{i+1}}{25}$（i=1，2，n-1），
又a₁＜a₂＜…＜a_n，因此a_i+1-a_i≥$\frac{{a}_{i}{a}_{i+1}}{25}$（i=1，2，n-1）．
所以$\frac{1}{{a}_{i}}-\frac{1}{{a}_{i+1}}≥\frac{1}{25}$（i=1，2，n-1）；
所以$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$$≥\frac{n-1}{25}$，
即$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_n}≥\frac{n-1}{25}$，故正確；
③由$\frac{1}{{a}_{1}}$＞$\frac{n-1}{25}$，a≥1可得 1＞$\frac{n-1}{25}$，因此n＜26．
同理$\frac{1}{{a}_{i}}-\frac{1}{{a}_{n}}≥\frac{n-i}{25}$，可知$\frac{1}{{a}_{i}}＞\frac{n-i}{25}$，
又a_i≥i，可得$\frac{1}{i}＞\frac{n-i}{25}$，
所以不等式i（n-i）＜25對(duì)于i=1，2，…，n-1均成立，故正確； 
④由③，當(dāng)n≥10時(shí)，取i=5，則i（n-i）=5（n-5）≥25，從而n＜10，
而又當(dāng)n≤9時(shí)，i（n-i）≤$（\frac{i+n-i}{2}）^{2}$=$（\frac{n}{2}）^{2}$＜25，所以n≤9，故不正確；
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．