Question

19．已知函數(shù)f（x）的圖象在[a，b]上連續(xù)不斷，定義：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），其中min{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)為區(qū)間[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”有以下三個命題，其中正確的命題為①②③（請把正確命題序號填在橫線上）
①若f（x）=cosx，x∈[0，π]，則f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，f₂（x）=1，x∈[0，π]
②函數(shù)f（x）=-x³+3x²是[0，1]上的2階收縮函數(shù)
③若函數(shù)f（x）=x²，x∈[-1，4]是[-1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k=4．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）=cosx的最大值為1，可得f₁（x）、f₂（x）的解析式；
（2）先對函數(shù)f（x）進行求導判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而寫出f₁（x）、f₂（x）的解析式，然后再根據(jù)題意判斷是否有f₂（x）-f₁（x）≤2（x-0）成立；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）=x²在x∈[-1，4]上的值域，先寫出f₁（x）、f₂（x）的解析式，再由f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）求出k的范圍得到答案．

解答 解：①由題意可得：f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，f₂（x）=1，x∈[0，π]，故正確；
②f'（x）=-3x²+6x=-3x（x-2），
當x∈[0，1]時，f'（x）＞0，
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
因此，f₂（x）=f（x）=-x³+3x²，f₁（x）=f（0）=0．
∵f₂（x）-f₁（x）-2（x-0）=-（x³-3x²+2x）
=-x（x²-3x+2）=-x（x-1）（x-2），
及x∈[0，1]，
∴f₂（x）-f₁（x）-2（x-0）＜0，
∴f₂（x）-f₁（x）≤2（x-0）對x∈[0，1]恒成立；
所以f（x）=-x³+3x²是[0，1]上的2階收縮函數(shù)，故正確；
③根據(jù)題意，有f₁（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x∈[-1，0）}\\{0，}&{x∈[0，4]}\end{array}\right.$，${f}_{2}（x）=\left\{\begin{array}{l}{1，}&{x∈[-1，1）}\\{{x}^{2}，}&{x∈[1，4]}\end{array}\right.$，
所以f₂（x）-f₁（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，}&{x∈[-1，0）}\\{1，}&{x∈[0，1）}\\{{x}^{2}，}&{x∈[1，4]}\end{array}\right.$
當x∈[-1，0]時，1-x²≤k（x+1），
∴k≥1-x，k≥2；
當x∈（0，1）時，1≤k（x+1），
∴$k≥\frac{1}{x+1}$，∴k≥1；
當x∈[1，4]時，x²≤k（x+1），
∴$k≥\frac{1}{x+1}$，∴$k≥\frac{16}{5}$．
綜上所述，$k≥\frac{16}{5}$，
即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4階收縮函數(shù)，故正確．
故答案為：①②③．

點評 本題主要考查學生的對新問題的接受、分析和解決的能力．要求學生要有很扎實的基本功才能作對這類問題．