已知數(shù)列{a
n}滿足a
1=3，a
n+1=a
n+p•3
n（n∈N
*，p為常數(shù)），a
1，a
2+6，a
3成等差數(shù)列．
（1）求p的值及數(shù)列{a
n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b
n}滿足b
n=
，證明b
n≤
．
考點：數(shù)列與不等式的綜合
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）利用遞推思想分別求出a
2=3+3p，a
3=3+12p，由此利用a
1，a
2+6，a
3成等差數(shù)列，求出p=2．利用疊加法求出a
n=3
n．
（2）b
n=
=
．構(gòu)造f（x）=
，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出f（x）
max=f（2）=
，x∈N
*．由此能證明b
n≤
．
解答：
（1）解：∵數(shù)列{a
n}滿足a
1=3，a
n+1=a
n+p•3
n（n∈N
*，p為常數(shù)），
∴a
2=3+3p，a
3=3+12p，
∵a
1，a
2+6，a
3成等差數(shù)列．∴2a
2+12=a
1+a
3，即18+6p=6+12p 解得p=2．
∵a
n+1=a
n+p•3
n，
∴a
2-a
1=2•3，a
3-a
2=2•3
2，…，a
n-a
n-1=2•3
n-1，
將這些式子全加起來 得
a
n-a
1=3
n-3，
∴a
n=3
n．
（2）證明：∵{b
n}滿足b
n=
，∴b
n=
．
設(shè)f（x）=
，則f′（x）=
，x∈N
*，
令f′（x）=0，得x=
∈（1，2）
當(dāng)x∈（0，
）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（
，+∞）時，f′（x）＜0，
且f（1）=
，f（2）=
，
∴f（x）
max=f（2）=
，x∈N
*．
∴b
n≤
．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
函數(shù)f（x）=sin（x+
），則函數(shù)f（x+
）為（ �。�
| A、偶函數(shù) |
| B、奇函數(shù) |
| C、非奇非偶函數(shù) |
| D、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) |
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知直線l：
（t為參數(shù)），與圓C
（θ為參數(shù)）相交于A、B兩點．
（1）若|AB|=8，求直線l的方程；
（2）若點p（-3，-
）是弦AB的中點，求直線AB的方程．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}滿足a
1=30，a
n+1=a
n+2n．
（1）求數(shù)列{a
n}的通項公式a
n；
（2）求
的最小值及取最小值時n的值．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-5=0，x∈R}．
（1）若A∩B={2}，求實數(shù)a的值；
（2）若A∪B=A，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若U=R，A∩CUB=A，求實數(shù)a的取值范圍；
（4）若B∩R+=∅，求實數(shù)a的取值范圍．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
化簡求值：
| cos(π+α)sin(α-2π) |
| sin(-α-π)cos(π-α) |
．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知四棱錐P-ABCD，四邊形ABCD為矩形，且PA⊥ABCD，E，F(xiàn)是PB的三等分點，E，F(xiàn)在PB上，PA=12，DC=9，BD=5，求異面直線DE與CF的夾角．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
在正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中．
（1）證明：AC∥平面A
1BC
1；
（2）在正方體中，求DC
1與B
1C直線所組成的角的大�。�
（3）在正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中，求證BC
1∥平面AD
1C．
查看答案和解析>>
