Question

已知四棱錐P-ABCD，四邊形ABCD為矩形，且PA⊥ABCD，E，F(xiàn)是PB的三等分點(diǎn)，E，F(xiàn)在PB上，PA=12，DC=9，BD=5，求異面直線DE與CF的夾角．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸．AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線DE與CF的夾角．

解答： 解：以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸．AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則由題意知D（5，9，0），C（5，0，0），
P（0，0，12），B（0，9，0），
∴

PB

=(0，9，-12)，

PE

=

1

3

PB

=(0，3，-4)，

PF

=

2

3

PB

=（0，6，-8），
∴E（0，3，8），F(xiàn)（0，6，4），
∴

DE

=(-5，-6，8)，

CF

=(-5，6，4)，
設(shè)異面直線DE與CF的夾角為θ，
則cosθ=|cos＜

DE

，

CF

＞|
=|

25-36+32

125 • 77

|=

21 385

1925

．
∴異面直線DE與CF的夾角為arccos

21 385

1925

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線的夾角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．