Question

已知x，y均為正數(shù)，θ∈（

π

4

，

π

2

），且滿足

sinθ

x

=

cosθ

y

，

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

10

3(x2+y2)

，則

x

y

的值為（　�。�

• A、2
• B、1
• C、

  3

• D、

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得 tanθ=

x

y

＞1，再由

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

10

3(x2+y2)

 化簡(jiǎn)可得 3tan⁴θ-10tan²θ+3=0．解得 tan²θ 的值，可得tanθ=

x

y

的值．

解答： 解：∵x，y均為正數(shù)，θ∈（

π

4

，

π

2

），且滿足

sinθ

x

=

cosθ

y

，∴tanθ=

x

y

＞1．
再由，

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

10

3(x2+y2)

，可得

cos2θ+sin2θ•tan2θ

y2•tan2θ

=

10

3y2sec2θ

，
化簡(jiǎn)可得 3tan⁴θ-10tan²θ+3=0．
解得 tan²θ=3，或 tan²θ=

1

3

（舍去），∴tanθ=

x

y

=

3

，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，一元二次方程的解法，屬于基礎(chǔ)題．