Question

（1）已知x₁＞0，x₂＞0且x₁+x₂=1，求x₁log₂x₁+x₂log₂x₂的最小值；
（2）已知x_i＞0（i=1，2，3，4）且x₁+x₂+x₃+x₄=1，求證：x₁log₂x₁+x₂log₂x₂+x₃log₂x₃+x₄log₂x₄≥-2；
（3）已知x_i＞0（i=1，2，3，4，5，6，7，8）且x₁+x₂+x₃+…+x₈=1，類比（2）給出一個你認(rèn)為正確的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：類比推理

專題：推理和證明

分析：（1）設(shè)x=x₁，則x₂=1-x，利用導(dǎo)數(shù)求最值；
（2）設(shè)x₁+x₂=m，x₃+x₄=n，則m＞0，n＞0，且

x1

m

+

x2

m

=1，

x3

n

+

x4

n

=1，m+n=1，由此證明．
（3）類比（2）易得結(jié)論，證明類似（2）．

解答： （1）設(shè)x=x₁，則x₂=1-x
∴x₁log₂x₁+x₂log₂x₂=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x），
令f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x），
則f'（x）=log₂x-log₂（1-x），
若f'（x）=0，則x=

1

2

當(dāng)x＜

1

2

時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞

1

2

時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
f（

1

2

）是f（x）在（0，1）內(nèi)的最小值．
所以f（x）≥f（

1

2

）=

1

2

log₂

1

2

+（1-

1

2

）log₂（1-

1

2

）=-1，
即x1log2x1+x2log2x2得最小值是-1．
（2）證明：設(shè)x₁+x₂=m，x₃+x₄=n，
則m＞0，n＞0，且

x1

m

+

x2

m

=1，

x3

n

+

x4

n

=1，m+n=1，
∴

x1

m

log2

x1

m

+

x2

m

log2

x2

m

≥-1，①

x3

n

log2

x3

n

+

x4

n

log2

x4

n

≥-1．②
mlog₂m+nlog₂n≥-1③，
由①式得x₁（log₂x₁-log₂m）+x₂（log₂x₂-log₂m）≥-m，
∴x₁log₂x₁+x₂log₂x₂≥-m+mlog₂m
同理：由②得到：x₃log₂x₃+x₄log₂x₄≥-n+nlog₂n，
∴x₁log₂x₁+x₂log₂x₂+x₃log₂x₃+x₄log₂x₄≥-（m+n）+（mlog₂m+nlog₂n），
由③式和m+n=1得到：x₁log₂x₁+x₂log₂x₂+x₃log₂x₃+x₄log₂x₄≥-2．
∴x₁log₂x₁+x₂log₂x₂+x₃log₂x₃+x₄log₂x₄≥-2．
（3）結(jié)論：若x_i＞0（i=1，2，3，4，5，6，7，8）且x₁+x₂+x₃+…+x₈=1，
則x₁log₂x₁+x₂log₂x₂+x₃log₂x₃+…+x₈log₂x₈≥-3．
證明：設(shè)x₁+x₂+x₃+x₄=m，x₅+x₆+x₇+x₈=n，則m＞0，n＞0，且m+n=1，

x1

m

+

x2

m

+

x3

m

+

x4

m

=1，

x5

n

+

x6

n

+

x7

n

+

x8

n

=1，
由（1）和（2）得到：mlog₂m+nlog₂n≥-1，

x1

m

log2

x1

m

+

x2

m

log2

x2

m

+

x3

m

log2

x3

m

+

x4

m

log2

x4

m

≥-2，

x5

n

log2

x5

n

+

x6

n

log2

x6

n

+

x7

n

log2

x7

n

+

x8

n

log2

x8

n

≥-2，
所以：x₁log₂x₁+x₂log₂x₂+x₃log₂x₃+…+x₈log₂x₈≥-2（m+n）+（mlog₂m+nlog₂n）≥-3

點評：本題考查不等式的證明以及對數(shù)的基本運算，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，綜合性較強．