Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，短軸長為2，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓上的兩點(diǎn)，

m

=(

x1

b

，

y1

a

)，

n

=(

x2

b

，

y2

a

)，且

m

•

n

=0．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求直線AB的斜率；
（3）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)題意可求得b，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a和c，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

m

•

n

=0建立方程求得k．
（3）先看當(dāng)直線的斜率不存在時，可推斷出x₁=x₂，y₁=-y₂，根據(jù)

m

•

n

=0求得x₁和y₁的關(guān)系式，代入橢圓的方程求得|x₁|和|y₁|求得三角形的面積；再看當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

m

•

n

=0求得2b²-k²=4，最后利用弦長公式和三角形面積公式求得答案．

解答： 解：（1）橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，短軸長為2，
∴

a2-b2 a = 3 2 2b=2

，
∴a=2，b=1，
∴橢圓方程為

y2

4

+x2=1；
（2）設(shè)AB：y=kx+

3

，代入橢圓方程可得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0，
∴x₁+x₂=-

2 3 k

k2+4

，x₁x₂=-

1

k2+4

，
∵

m

•

n

=0，
∴4x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（k²+4）x₁x₂+

3

k（x₁+x₂）+3=0，
∴-1-

6k2

k2+4

+3=0，
∴k=±

2

；
（3）①當(dāng)直線AB斜率不存在時，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
由

m

•

n

=0，則y12=4x12
又A（x₁，y₁）在橢圓上，∴x12+

y12

4

=1，
∴|x1|=

2

2

，|y1|=

2

，
∴S=

1

2

|x1|•2|y1|=1
∴三角形的面積為定值1；
②當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)AB的方程為y=kx+b，代入橢圓方程，可得（k²+4）x²+2kbx+b²-4=0，
得到x₁+x₂=-

2kb

k2+4

，x₁x₂=

b2-4

k2+4

，
∵4x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（k²+4）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=0，
∴（k²+4）

b2-4

k2+4

+kb（-

2kb

k2+4

）+b²=0，
∴2b²-k²=4，
∴S=

|b|

1+k2

|AB|=

1

2

|b|

(x1+x2)2-4x1x2

=

|b| 4k2-4b2+16

k2+4

=

4b2

2|b|

=1，
∴三角形的面積為定值1．
綜上，三角形的面積為定值1．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．