Question

對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)f(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x在區(qū)間（t，3）上總存在極值，求m的范圍（　　）

• A．-

  37

  3

  ＜m＜-5
• B．-

  37

  3

  ＜m＜-9
• C．-9＜m＜-5
• D．-9＜m＜0

Answer 1

分析：首先求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總存在極值，說明其導(dǎo)函數(shù)值在該區(qū)間內(nèi)有正有負(fù)，求出的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，對應(yīng)的圖象開口向上，且兩根之積小于0，說明導(dǎo)函數(shù)的一個零點(diǎn)是負(fù)值，只要讓另一個零點(diǎn)在區(qū)間（t，3）內(nèi)即可，列式后再通過函數(shù)的單調(diào)性求m的范圍，最后取交集．

解答：解：由函數(shù)f(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x，得：f^′（x）=3x²+（4+m）x-2．
要使對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)f(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x在區(qū)間（t，3）上總存在極值，
說明導(dǎo)函數(shù)f^′（x）的值在（t，3）上有正有負(fù)，
因?yàn)槎�次函�?shù)f^′（x）=3x²+（4+m）x-2的圖象開口向上，且橫過定點(diǎn)（0，-2），
所以，只需

f′(t)＜0 f′(3)＞0

，即

3t2+(4+m)t-2＜0① 27+3(4+m)-2＞0②

，
由①得：m＜-3t+

2

t

-4（1≤t≤2）．而(-3t+

2

t

-4)min=-3×2+

2

2

-4=-9．
所以，m＜-9．
由②得：m＞-

37

3

．
所以，使得對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)f(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x在區(qū)間（t，3）上總存在極值的m的范圍是-

37

3

＜m＜-9．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)在某點(diǎn)取極值的條件，考查了二次函數(shù)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系，訓(xùn)練了利用分離變量法求參數(shù)的范圍，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．