【題目】如圖所示，在中， 的中點(diǎn)為,且，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且.固定邊，在平面內(nèi)移動(dòng)頂點(diǎn)，使得圓與邊，邊的延長(zhǎng)線相切，并始終與的延長(zhǎng)線相切于點(diǎn)，記頂點(diǎn)的軌跡為曲線.以所在直線為軸， 為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線交曲線于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，求面積的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用橢圓的定義進(jìn)行分析探求；（2）借助題設(shè)條件運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行分析求解：

（Ⅰ）依題意得，設(shè)動(dòng)圓與邊的延長(zhǎng)線相切于，與邊相切于， 則

所以

所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，且挖去長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn).則曲線的方程為.

由于曲線要挖去長(zhǎng)軸兩個(gè)頂點(diǎn)，所以直線斜率存在且不為，所以可設(shè)直線

由得,，同理可得： ,；

所以，

又，所以令，

則且，所以

又，所以，

所以，

所以，所以，

所以面積的取值范圍為.

【法二】

依題意得直線斜率不為0，且直線不過橢圓的頂點(diǎn)，則可設(shè)直線： ，且。

設(shè)，又以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則，所以

由得，則

且，所以

又

代入①得： ，所以，

代入②得： 恒成立所以且.

又；

點(diǎn)到直線的距離為，

所以

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ；

（Ⅱ）當(dāng)且時(shí)，

，

又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以，

所以，所以，

所以，所以；

綜合（1），（2）知.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖所示，正四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為．

（1）求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小；

（2）若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線PD與AE所成角的正切值；

（3）問在棱AD上是否存在一點(diǎn)F，使EF⊥側(cè)面PBC，若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，說明理由．

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【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 數(shù)列{an}滿足，2Sn=an（an+1）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為An ， 求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有An＜ 成立；
（3）數(shù)列{bn}滿足bn=（ ）nan ， 它的前n項(xiàng)和為Tn ， 若存在正整數(shù)n，使得不等式（﹣2）n﹣1λ＜Tn+ ﹣2n﹣1成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，直線， 分別與軸交于點(diǎn)， ．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，多面體中，四邊形是菱形， ， 相交于， ，點(diǎn)在平面上的射影恰好是線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成角（銳角）的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，滿足：①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[ ]D，使得f（x）在[ ]上的值域?yàn)閇a，b]，那么就稱函數(shù)y=f（x）為“優(yōu)美函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=logc（cx﹣t）（c＞0，c≠1）是“優(yōu)美函數(shù)”，則t的取值范圍為（ ）
A.（0，1）
B.（0， ）
C.（﹣∞， ）
D.（0， ）

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【題目】已知向量 =（1，2）， =（cosα，sinα），設(shè) = ﹣t （t為實(shí)數(shù)）．
（1）t=1 時(shí)，若 ∥ ，求2cos2α﹣sin2α的值；
（2）若α= ，求| |的最小值，并求出此時(shí)向量 在 方向上的投影．

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