Question

已知△ABC中，

AB

⊥

AC

，|

AB

-

AC

|=2，點M是線段BC（含端點）上的一點，且

AM

•（

AB

+

AC

）=1，則|

AM

|的取值范圍是（　�。�

• A、（

  1

  2

  ，2）
• B、[

  1

  2

  ，1]
• C、（1，2]
• D、（1，

  3

  2

  ]

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：如圖所示，建立直角坐標系，則B（0，c），C（b，0），D（b，c），M（x，y）．利用向量的坐標運算可得b²+c²=4．再利用數量積運算

AM

•（

AB

+

AC

）=1，
可得bx+cy=1．利用數量積性質可得（x²+y²）（b²+c²）≥（bx+cy）²，可得|

AM

|≥

1

2

．再利用

x

b

+

y

c

=1，1=(bx+cy)(

x

b

+

y

c

)=x2+y2+

cxy

b

+

bxy

c

，可得x²+y²≤1，即可得出．

解答： 解：解：如圖所示，建立直角坐標系．
則B（0，c），C（b，0），D（b，c），M（x，y）．
∵|

AB

-

AC

|=|

CB

|=2，

AB

+

AC

=

AD

，及四邊形ABDC為矩形，
∴|

AD

|=|

CB

|=2．
∴b²+c²=4．
∵

AM

•（

AB

+

AC

）=1，
∴bx+cy=1．
|

AM

|=

x2+y2

．
∵（x²+y²）（b²+c²）≥（bx+cy）²，
∴4（x²+y²）≥1．
∴

x2+y2

≥

1

2

．即|

AM

|≥

1

2

．
∵點M在直線BC上，∴

x

b

+

y

c

=1．
∴1=(bx+cy)(

x

b

+

y

c

)=x2+y2+

cxy

b

+

bxy

c

，
∵b，c＞0，x≥0，y≥0．
∴x²+y²≤1，即

x2+y2

≤1（當且僅當x=0或y=0時取等號），
綜上可得：

1

2

≤|

AM

|≤1．
故選：B．

點評：本題考查了向量的坐標運算、數量積運算及其性質、不等式的性質等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．