Question

已知△ABC中，

AB

⊥

AC

，|

AB

-

AC

|=2，點(diǎn)M是線段BC（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，且

AM

•（

AB

+

AC

）=1，則|

AM

|的取值范圍是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，2）
• B、[

  1

  2

  ，1]
• C、（1，2]
• D、（1，

  3

  2

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，則B（0，c），C（b，0），D（b，c），M（x，y）．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得b²+c²=4．再利用數(shù)量積運(yùn)算

AM

•（

AB

+

AC

）=1，
可得bx+cy=1．利用數(shù)量積性質(zhì)可得（x²+y²）（b²+c²）≥（bx+cy）²，可得|

AM

|≥

1

2

．再利用

x

b

+

y

c

=1，1=(bx+cy)(

x

b

+

y

c

)=x2+y2+

cxy

b

+

bxy

c

，可得x²+y²≤1，即可得出．

解答： 解：解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
則B（0，c），C（b，0），D（b，c），M（x，y）．
∵|

AB

-

AC

|=|

CB

|=2，

AB

+

AC

=

AD

，及四邊形ABDC為矩形，
∴|

AD

|=|

CB

|=2．
∴b²+c²=4．
∵

AM

•（

AB

+

AC

）=1，
∴bx+cy=1．
|

AM

|=

x2+y2

．
∵（x²+y²）（b²+c²）≥（bx+cy）²，
∴4（x²+y²）≥1．
∴

x2+y2

≥

1

2

．即|

AM

|≥

1

2

．
∵點(diǎn)M在直線BC上，∴

x

b

+

y

c

=1．
∴1=(bx+cy)(

x

b

+

y

c

)=x2+y2+

cxy

b

+

bxy

c

，
∵b，c＞0，x≥0，y≥0．
∴x²+y²≤1，即

x2+y2

≤1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0時(shí)取等號(hào)），
綜上可得：

1

2

≤|

AM

|≤1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．