Question

定義非零向量

OM

=（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量

OM

=（a，b）稱為f（x）=asinx+bcosx，（x∈R）的“相伴向量”（其中O為坐標原點）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S
（1）設h（x）=

3

cos（x+

π

6

）-3cos（

π

3

-x）（x∈R）
①求證：h（x）∈S
②求（1）中函數(shù)h（x）的“相伴向量”的模；
（2）已知點M（a，b）滿足：

b

a

∈（0，

3

]，向量

OM

“相伴函數(shù)”f（x）在x=x₀處取得最大值，求tan2x₀的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）①用誘導公式對函數(shù)解析式化簡，構(gòu)造出asinx+bcosx的形式，進而求得函數(shù)h（t）為向量

OM

=（-3，

3

）的相伴函數(shù)，證明結(jié)論．
②利用①中相伴向量，求得向量的模．
（2）利用輔角公式對函數(shù)解析式恒等變換，分別表示出cosφ和sinφ，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)取最大值時，x的值，進而表示出tanx₀，再表示出tan2x₀，用換元法，令m=

b

a

重新表示出tan2x₀，利用m的范圍求得tan2x₀的取值范圍．

解答： 解：（1）①證明：∵h（x）=

3

cos（x+

π

6

）-3cos（

π

3

-x）=

3

cos（x+

π

6

）-3sin（x+

π

6

），
∴函數(shù)h（t）為向量

OM

=（-3，

3

）的相伴函數(shù)，
∴h（x）∈S
②由①知函數(shù)h（x）的“相伴向量”

OM

=（-3，

3

），
∴|

OM

|=

3+9

=2

3

（2）

OM

的相伴函數(shù)f（x）=asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ），
其中cosφ=

a

a2+b2

，sinφ=

b

a2+b2

，
當x+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x₀=2kπ+

π

2

-φ，k∈Z時，f（x）取得最大值，
∴tanx₀=tan（2kπ+

π

2

-φ）=cotφ=

a

b

，
∴tan2x₀=

2tanx0

1-tan2x0

=

2× a b

1- b2 a2

=

2

b a - a b

，
令m=

b

a

，tan2x₀=

2

m- 1 m

，m∈（0，

3

]m
則

1

m

≥

3

3

，-

1

m

≤-

3

3

，
∴m-

1

m

∈（-∞，

2 3

3

]，
∴tan2x₀∈（-∞，0）∪（

3

，+∞）

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，考查了分析推理和歸納的能力．綜合性較強．