Question

如圖，五棱錐P-ABCDE中，PA⊥底面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥CB，∠ABC=45°，AB=PA=2

2

，BC=2AE=4．
（1）求點(diǎn)B到平面PCD的距離；
（2）求二面角P-BC-A的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在一點(diǎn)M，使得DM∥面PBC，若存在，求出DM的長，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,點(diǎn)、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)B到平面PCD的距離．
（2）分別求出平面PBC的法向量的面ABC的一個法向量，利用向量法能求出二面角P-BC-A的余弦值，再由三角函數(shù)知識能求出其正弦值．
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M（0，0，z），再由向量法進(jìn)行計算．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）∵∠ABC=45°，AB=PA=2

2

，BC=2AE=4，
∴AC=

AB2+BC2-2AB•BC•cos45°

=

8+16-2×2 2 ×4× 2 2

=2

2

，
∴AB⊥AC，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、AP所在直線為x軸、y軸、z軸，
建立坐標(biāo)系如圖，
則由題意知：A（0，0，0），P（0，0，2

2

），B（2

2

，0，0），
C（0，2

2

，0），D（-

2

，2

2

，0），
設(shè)平面PCD的法向量為

n

=(x，y，1)，
則

n • CD =(x，y，1)•(- 2 ，0，0)=- 2 x=0 n • PC =(x，y，1)•(0，2 2 ，-2 2 )=2 2 y-2 2 =0

，
∴

n

=(0，1，1)．
又

BC

=(-2

2

，2

2

，0)，
∴點(diǎn)B到平面PCD的距離為d=

| BC • n |

| n |

=2
（2）設(shè)平面PBC的法向量為

m1

=(x，y，1)，
∵

PB

=(2

2

，0，-2

2

)，

BC

=(-2

2

，2

2

，0)，
∴

m1 • PB =(x，y，1)•(2 2 ，0，-2 2 )=2 2 x-2 2 =0 m1 • BC =(x，y，1)•(-2 2 ，2 2 ，0)=-2 2 x+2 2 y=0

，
∴

m1

=(1，1，1)，
∵面ABC的一個法向量為

m2

=(0，0，1)．
∴cosθ=

| m1 • m2 |

| m1 |•| m2 |

=

3

3

，
∴sinθ=

6

3

∴二面角P-BC-A的正弦值為

6

3

．
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M（0，0，z），（0≤z≤2

2

），
則

DM

=(

2

，-2

2

，z)．
由（2）得，面PBC的一個法向量為

m

=(1，1，1)，
當(dāng)DM∥面PBC時，

DM

•

m

=

2

-2

2

+z=0．
解得z=

2

，故存在點(diǎn)M(0，0，

2

)，
且DM=

2+8+2

=2

3

．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的求法，解題時要注意向量法的合理運(yùn)用．