Question

20．設(shè)區(qū)域G為圓C₁：x²+y²=$\frac{1}{2}$的外部與圓C₂：x²+y²=2的內(nèi)部的公共部分，點(diǎn)P（x，y）在G中運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)Q（x+y，x-y）的軌跡方程，并作出它的圖形．

Answer 1

分析 設(shè)s=x+y，t=x-y，則x=$\frac{1}{2}$（s+t），y=$\frac{1}{2}$（s-t），利用區(qū)域G為圓C₁：x²+y²=$\frac{1}{2}$的外部與圓C₂：x²+y²=2的內(nèi)部的公共部分，點(diǎn)P（x，y）在G中運(yùn)動(dòng)，可得點(diǎn)Q（x+y，x-y）的軌跡方程，并作出它的圖形．

解答 解：設(shè)s=x+y，t=x-y，則x=$\frac{1}{2}$（s+t），y=$\frac{1}{2}$（s-t），
∵區(qū)域G為圓C₁：x²+y²=$\frac{1}{2}$的外部與圓C₂：x²+y²=2的內(nèi)部的公共部分，點(diǎn)P（x，y）在G中運(yùn)動(dòng)，
∴$\frac{1}{2}$＜x²+y²＜2，
∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{4}$（s+t）²+$\frac{1}{4}$（s-t）²＜2，
∴1＜s²+t²＜4，
軌跡為圓x²+y²=1的外部與圓x²+y²=4的內(nèi)部的公共部分，如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查軌跡問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．