【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)，不等式對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在定義域單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，； （2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分為和兩種情形，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題等價(jià)于對任意的，恒有成立，即，根據(jù)，分離，從而求出的范圍即可．

(1)函數(shù)定義域?yàn)?/span>，且，

令，得，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，由，得；由，得或，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，.

綜上所述，

當(dāng)時(shí)，在定義域單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，.

(2)由(1)知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，.

問題等價(jià)于：對任意的，恒有成立，即.

因?yàn)?/span>，則，∴，

設(shè)，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知橢圓的離心率為，其上焦點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn).試探究以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過，請說明理由.

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（1）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．是否存在實(shí)數(shù)a，使g(x)在［a，－a］上為減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由。

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【題目】近年來，霧霾日趨嚴(yán)重，霧霾的工作、生活受到了嚴(yán)重的影響，如何改善空氣質(zhì)量已成為當(dāng)今的熱點(diǎn)問題，某空氣凈化器制造廠，決定投入生產(chǎn)某型號的空氣凈化器，根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，每生產(chǎn)該型號空氣凈化器（百臺），其總成本為（萬元），其中固定成本為12萬元，并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為10萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入（萬元）滿足，假定該產(chǎn)品銷售平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請完成下列問題：

（1）求利潤函數(shù)的解析式（利潤=銷售收入-總成本）；

（2）工廠生產(chǎn)多少百臺產(chǎn)品時(shí)，可使利潤最多？

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【題目】有10所學(xué)校，每所都選派若干名男生和若干名女生舉行跳棋比賽，同一學(xué)校的選手不比賽，不同學(xué)校的選手不論男女在兩人之間都要進(jìn)行一場比賽. 在兩個(gè)男生或兩個(gè)女生之間的比賽總局?jǐn)?shù)與男生和女生之間的比賽總局?jǐn)?shù)與男生和女生之間的比賽總局?jǐn)?shù)至多相差1，而男生的總?cè)藬?shù)和女生的總?cè)藬?shù)也至多相差1. 求證：至少有7所學(xué)校選派的男生和女生人數(shù)相同.

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表1，設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表:

質(zhì)量指標(biāo)值

頻數(shù)

2

18

48

14

16

2

（1）請估計(jì)該企業(yè)在設(shè)備改造前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均數(shù)；

（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對合格品進(jìn)行等級細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在[25，30)內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)240元，質(zhì)量指標(biāo)值落在[20，25)或[30，35)內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)180元，其它的合格品定為三等品，每件售價(jià)120元.根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率，現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為X（單位：元），求X得分布列和數(shù)學(xué)期望.

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