Question

1．求非零常數(shù)a，b，使得$\underset{lim}{x→0}$$\frac{2arctanx-ln\frac{1+x}{1-x}}{{x}^{a}}$=b．

Answer 1

分析 經(jīng)分析，該極限是“$\frac{0}{0}$”型極限，所以運(yùn)用“洛必達(dá)”法則求解，即：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f'（x）}{g'（x）}$=b．

解答 解：當(dāng)x→0時(shí)，arctanx→0，ln$\frac{1+x}{1-x}$→0，
所以，該極限是“$\frac{0}{0}$”型極限，故用“洛必達(dá)”法則求解，
記f（x）=2arctanx-ln$\frac{1+x}{1-x}$，g（x）=x^a，
則f'（x）=2×$\frac{1}{1+x^2}$-2×$\frac{1}{1-x^2}$=-$\frac{4x^2}{1-x^4}$，
而g'（x）=a•x^a-1，
由于$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f'（x）}{g'（x）}$=b（b≠0），
要使上式成立，則g'（x）的次數(shù)與f'（x）分子的次數(shù)一致，
即a-1=2，解得a=3，
此時(shí)，原式=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f'（x）}{g'（x）}$=$\underset{lim}{x→0}$[-$\frac{4}{3（1-x^4）}$]=-$\frac{4}{3}$，
故a=3，b=-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了極限的求解，涉及洛必達(dá)法則的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，分式極限的特征，屬于難題．