Question

16．設函數f（x）=|x+1|+|x-1|，x∈R，不等式f（x）≤2$\sqrt{3}$的解集為M．
（1）求M；
（2）當a，b∈M時，證明：$\sqrt{3}$|a+b|≤|ab+3|．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值的意義求出不等式f（x）≤2$\sqrt{3}$的解集M．
（2）用分析法證明此不等式，分析使此不等式成立的充分條件為（a²-3）（3-b²）≤0，而由條件a，b∈M可得（a²-3）（3-b²）≤0成立，從而證得要證的不等式．

解答 解：（1）不等式即|x+1|+|x-1|≤2$\sqrt{3}$，
而|x+1|+|x-1|表示數軸上的x對應點到-1、1對應點的距離之和，
-$\sqrt{3}$和$\sqrt{3}$對應點到-1、1對應點的距離之和正好等于2$\sqrt{3}$，
故不等式的解集為M=[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]；
（2）要證$\sqrt{3}$|a+b|≤|ab+3|，只要證3（a+b）²≤（ab+3）²，
即證：3（a+b）²-（ab+3）²=3（a²+b²+2ab）-（a²•b²+6ab+9）
=3a²+3b²-a²•b²-9=（a²-3）（3-b²）≤0，
而由a，b∈M，可得-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$≤b≤$\sqrt{3}$，
∴a²-3≤0，3-b²≥0，
∴（a²-3）（3-b²）≤0成立，
故要證的不等式$\sqrt{3}$|a+b|≤|ab+3|成立．

點評 本題主要考查絕對值的意義、絕對值不等式的解法，用分析法證明不等式，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．