Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax+a
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）恰好有兩個不同的零點，求a的值．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x-1相切，求a的值及相應(yīng)的切點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）若函數(shù)f（x）恰好有兩個不同的零點，等價為函數(shù)的極值為0，建立方程即可得到結(jié)論．．
（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，建立方程組，即可求a的值及相應(yīng)的切點坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²-a，
若a≤0，函數(shù)f′（x）=x²-a≥0，此時f（x）單調(diào)遞增，不滿足條件，
若a＞0，由f′（x）=x²-a=0的x=±

a

，則x=±

a

，是函數(shù)f（x）的兩個極值點，
若若函數(shù)f（x）恰好有兩個不同的零點，
則f（±

a

）=0，
∵f（0）=a＞0，∴只能有f（

a

）=0，
即

1

3

（

a

）³-a•

a

+a=0，
即

1

3

a

-

a

+1=0，
即

2

3

a

=1，

a

=

3

2

，即a=

9

4

．
（Ⅱ）設(shè)切點P（m，n），則f′（m）=m²-a，
則切線方程為y-（

1

3

m³-am+a）=（m²-a）（x-m），
即y=（m²-a）x+a-

2

3

m³，
∵切線方程為y=x-1，
∴m²-a=1，a-

2

3

m³=-1，
即

1

3

m³=0，即m=0，
此時n=m-1=-1，a=-1，
即若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x-1相切，
則a=-1，相應(yīng)的切點坐標(biāo)P（0，-1）．

點評：本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用以及切線方程的求解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．