Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d＜0，a₃a₅=112，a₄=11．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)n為何值時(shí)，S_n取得最大值？并求此最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程組關(guān)系求出首項(xiàng)和公差即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出a_n=23-3n≥0得值，即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}的公差d＜0，a₃a₅=112，a₄=11．
∴（a₄-d）（a₄+d）=112，
即（11-d）（11+d）=112，
則121-d²=112，
即d²=9，d=-3，
∵a₄=a₁+3d=11，
∴a₁=20，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=20-3（n-1）=23-3n；
（Ⅱ）∵a_n=23-3n，
∴由a_n=23-3n≥0得n≤$\frac{23}{3}$；
即當(dāng)1≤n≤7時(shí)，a_n＞0，
當(dāng)n≥8時(shí)，a_n＜0，
∴當(dāng)n=7時(shí)，S_n取得最大值，求此最大值S₇=$\frac{7（20+23-21）}{2}$=77．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和的性質(zhì)，根據(jù)方程組求出首項(xiàng)和公差是解決本題的關(guān)鍵．