Question

【題目】已知無窮數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為， .

（1）如果，且對于一切正整數(shù)，均有，求；

（2）如果對于一切正整數(shù)，均有，求；

（3）如果對于一切正整數(shù)，均有，證明： 能被8整除．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ． (3) 見解析.

【解析】試題分析：（1）由，得，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得到通項；（2）推導(dǎo)出an+1﹣an﹣1=1．a1=4，由anan+1=Sn，得a2=1，a3=5，a4=3，…，由此根據(jù)n為偶數(shù)和n為奇數(shù)，能求出Sn的值；（3）推導(dǎo)出，分別求出前4項的值，利用數(shù)學(xué)歸納法能證明a3n﹣1能被8整除．

解析：

(1) 數(shù)列的各項均為正數(shù)，由，得，

數(shù)列是等比數(shù)列，公比，從而

(2) 由得，兩式相減得，

此數(shù)列各均為正數(shù)， ， 數(shù)列和數(shù)列均是公差為1的等差數(shù)列．由，得．

當(dāng)為偶數(shù)時，

當(dāng)為奇數(shù)時，

．

(3) 由得，兩式相減得.

，得， ．

以下證明：對于， 被8除余數(shù)為4， 被8整除， 被8除余數(shù)為4.

當(dāng)時， ， ， ，命題正確．

假設(shè)時，命題正確，即， ， 其中， ．

那么， ， 為正整數(shù)， 被8除余數(shù)為4．

．

為正整數(shù)， 能被８整除．

． 為正整數(shù)， 被8除余數(shù)為4．

即時，命題也正確．

從而證得，對于一切正整數(shù)， 能被８整除．