Question

已知函數(shù)f（x）=4cos（ωx-

π

6

）sinωx-cos（2ωx+π）（ω＞0），其圖象與直線y=1的相鄰兩個交點的距離為π．
（1）若g（x）=f（

3

4

x+

π

4

），求g（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（α）+f（

π

2

-α）=

4+ 21

2

，且α∈（

π

4

，

π

2

），試求

(5sin2α+11cos2α-8)(tanα+cotα)

2 sin(α+ π 4 )

的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，借助于兩角和與差的正弦、余弦公式化簡，然后，借助于周期公式，確定ω的值，從而得到函數(shù)的解析式，最后確定g（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)（1），將等式f（α）+f（

π

2

-α）=

4+ 21

2

化簡，然后得到sinα，cosα的差和積的值，最后，對待求式子進(jìn)行化簡，從而得到結(jié)果．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=4cos（ωx-

π

6

）sinωx-cos（2ωx+π），
∴函數(shù)f（x）=4（cosωxcos

π

6

+sinωxsin

π

6

）sinωx+cos2ωx
=

3

sin2ωx+1-cos2ωx+cos2ωx
=

3

sin2ωx+1，
∵T=

2π

2ω

=2π，
∴ω=

1

2

，
∴f（x）=

3

sinx+1，
∴g（x）=f（

3

4

x+

π

4

）=

3

sin（

3

4

x+

π

4

）+1，
∵x∈[0，π]，
∴（

3

4

x+

π

4

）∈[

π

4

，π]，
令t=

3

4

x+

π

4

，
∴y=

3

sint+1的單調(diào)遞增區(qū)間為[

π

4

，

π

2

]，
∵

π

4

≤

3

4

x+

π

4

≤

π

2

，
∴x∈[0，

π

3

]，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，

π

3

]．
（2）根據(jù)（1），

3

（sinα+cosα）+2
∴

3

（sinα+cosα）+2=

4+ 21

2

，
∴sinα+cosα=

7

2

，
∴cosα-sinα=-

1

2

，sinαcosα=

3

8

，
∵

(5sin2α+11cos2α-8)(tanα+cotα)

2 sin(α+ π 4 )

=

(6cos2α-3)( 1 sinαcosα )

sinα+cosα

=

3(cos2α-sin2α)

sinα+cosα

•

1

sinαcosα

=

3(cosα-sinα)

sinαcosα

=

3(- 1 2 )

3 8

=-4．
∴

(5sin2α+11cos2α-8)(tanα+cotα)

2 sin(α+ π 4 )

的值-4．

點評：本題綜合考查了二倍角公式、輔助角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識，考查比較綜合，屬于中檔題．