Question

13．已知定義域為R的奇函數(shù)滿足f（x+4）=f（x），且x∈（0，2）時，f（x）=ln（x²+a），a＞0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，4]上有9個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（0，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x+4）=f（x）推得f（x）是以4為周期的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性原問題等價為：x∈（0，2）時，f（x）必有唯一零點．

解答 解：因為f（x+4）=f（x），所以f（x）是以4為周期的函數(shù)，
且f（x）為奇函數(shù)，所以f（0）=0，因此f（4）=f（0）=0，
再令x=-2代入f（x+4）=f（x）得，f（-2）=f（2）=-f（2），
所以，f（-2）=f（2）=0，
因此，要使f（x）=0在[-4，4]上有9個零點，
則f（x）在（0，4]上必有4個零點，且已有零點x=2，x=4，
所以，當x∈（0，2）時，f（x）必有唯一零點，
（依據(jù)：若在（0，2）有唯一零點，則（-2，0）有唯一零點，則（2，4）有唯一零點）
即令f（x）=ln（x²+a）=0，分離a得，a=1-x²，x∈（0，2），
解得a∈（-3，1），且a＞0，所以，a∈（0，1），
故答案為：（0，1）．

點評 本題主要考查了函數(shù)零點的判定，涉及函數(shù)的圖象和性質，尤其是奇偶性和周期性，屬于中檔題．