考點(diǎn):用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)由已知條件推導(dǎo)出CA⊥AB,A1A⊥AC,由此得到CA⊥平面A1AB,從而能夠證明平面ACE⊥平面A1AB.
(Ⅱ)以A為原點(diǎn),AB為y軸正方向,過A且垂直于AB做x軸,正向AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A1-AE-C的平面角的余弦值.
解答:
解:(Ⅰ)△ABC中,
∵AB=AC=1,BC=
,∴CA⊥AB,
∵A
1A⊥AC,A
1A⊥AB,AB∩AC=A,
∴A
1A⊥平面ABC,
∵AC?平面ABC,∴A
1A⊥AC,
∵AB∩A
1A=A,
∴CA⊥平面A
1AB,
∵CA?平面EAC,
∴平面ACE⊥平面A
1AB.
(Ⅱ)以A為原點(diǎn),AB為y軸正方向,過A且垂直于AB做x軸,正向AA
1為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
∵AB=AC=1,A
1B=2,E是A
1B的中點(diǎn),∠CAB=120°,
∴
A1(0,0,),C(
,-,0),B(0,1,0),E(0,
,
),
∴
=(
,-,0),
=(0,
,
),
設(shè)平面ACE的法向量
=(x,y,z),則
•=0,
•=0,
∴
,∴
=(1,,-1),
設(shè)二面角A
1-AE-C的平面角為θ,
∵平面A
1AB的一個(gè)法向量是
=(1,0,0),
∴cosθ=|cos<
,>|=|
|=
.
∴二面角A
1-AE-C的平面角的余弦值為
.
點(diǎn)評(píng):本題考查平面與平面垂直的證明,考查二面角的平面角的余弦值的求法,解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng).