Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E為PD的中點．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）在線段AB上是否存在一點F（不與A，B兩點重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求出AF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）取AD的中點G，連結(jié)GC，證明PA⊥CD，AC⊥CD，利用線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACD、平面EAC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）假設(shè)在線段AB上存在點F（不與A，B兩點重合），使得AE∥平面PCF．設(shè)F（a，0，0），求出

n2

=(1 ， a-1 ， 

a

2

)是平面PCF的一個法向量，根據(jù)AE∥平面PCF，可得

AE

•

n2

=0，即(a-1)+

a

2

=0，從而可得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以PA⊥CD．…（1分）
取AD的中點G，連結(jié)GC，
因為底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，且AB=BC=1，
所以四邊形ABCG為正方形，所以CG⊥AD，且CG=

1

2

AD，
所以∠ACD=90°，即AC⊥CD．…（3分）
又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．…（4分）
（Ⅱ）解：如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．…（5分）

則A（0，0，0），C（1，1，0），E（0，1，1），P（0，0，2），
所以

AP

=(0 ， 0 ， 2)，

AC

=(1 ， 1 ， 0)，

AE

=(0 ， 1 ， 1)．
因為PA⊥平面ABCD，所以

AP

=(0 ， 0 ， 2)為平面ACD的一個法向量．    …（6分）
設(shè)平面EAC的法向量為

n1

=(x ， y ， z)，
由

n1

•

AC

=0，

n1

•

AE

=0得

x+y=0  y+z=0 ，

令x=1，則y=-1，z=1，
所以

n1

=(1 ， -1 ， 1)是平面EAC的一個法向量．      …（8分）
所以cos＜

n1

 ， 

AP

＞=

1×0+(-1)×0+1×2

12+(-1)2+12 •2

=

3

3

因為二面角E-AC-D為銳角，所以二面角E-AC-D的余弦值為

3

3

．     …（9分）
（Ⅲ）解：假設(shè)在線段AB上存在點F（不與A，B兩點重合），使得AE∥平面PCF．

設(shè)F（a，0，0），則

CF

=(a-1 ， -1 ， 0)，

CP

=(-1 ， -1 ， 2)．
設(shè)平面PCF的法向量為

n2

=(x ， y ， z)，
由

n2

•

CF

=0，

n2

•

CP

=0得

(a-1)x-y=0  -x-y+2z=0 ，

令x=1，則y=a-1，z=

a

2

，
所以

n2

=(1 ， a-1 ， 

a

2

)是平面PCF的一個法向量．…（12分）
因為AE∥平面PCF，所以

AE

•

n2

=0，即(a-1)+

a

2

=0，…（13分）
解得a=

2

3

，
所以在線段AB上存在一點F（不與A，B兩點重合），使得AE∥平面PCF，且AF=

2

3

．…（14分）

點評：本題考查線面垂直的判定，考查面面角，考查線面平行，考查向量法的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．