Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=12，a₃=54，數(shù)列{a_n+1-3a_n}是等比數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{

an

3n-1

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a_n+1-3a_n=2×3ⁿ，從而得到an+1=3an+2×3n，由此能夠證明數(shù)列{

an

3n-1

}是等差數(shù)列．
（2）由（1）推導(dǎo)出=a_n=2n•3^n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n+1-3a_n}是等比數(shù)列，a₁=2，a₂=12，a₃=54，
∴公比q=

a3-3a2

a2-3a1

=

54-36

12-6

=3，
∴a_n+1-3a_n=（a₂-3a₁）•3^n-1
=6×3^n-1
=2×3ⁿ，
∴an+1=3an+2×3n，
∴

an+1

3n

-

an

3n-1

=

2×3n

3n

=2，
∴數(shù)列{

an

3n-1

}是等差數(shù)列．
（2）∵

an+1

3n

-

an

3n-1

=

2×3n

3n

=2，
∴d=2，

an

3n-1

=

a1

30

+(n-1)d=2+2n-2=2n，
∴a_n=2n•3^n-1，
∴S_n=2×3⁰+2•2×3+2•3×3²+…+2n×3^n-1，①
3S_n=2×3+2•2×3²+2•3×3³+…+2n×3ⁿ，②
①-②，得：-2S_n=2（1+3+3²+3³+…+3^n-1）-2n×3ⁿ
=2×

1-3n

1-3

-2n•3ⁿ
=（1-2n）•3ⁿ-1，
∴S_n=（n-

1

2

）•3ⁿ+

1

2

．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．