Question

已知數(shù)列{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=1，又a₂+1，S₃-4，a₃-1成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列（a_n+log₂a_n+1）的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，利用等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，求出公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由（1）知a_n+log₂a_n+1=2^n-1+n，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{an+lo

g

2

an+1}的前n項和．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），
∵a₁=1，a₂+1，S₃-4，a₃-1成等差數(shù)列，
∴2（S₃-4）=a₂+a₃，
∴2（a₂+a₃-3）=a₂+a₃，
∴q²+q-6=0，
解得q=2，或q=-3（舍）
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為an=2n-1．
（2）∵a_n+log₂a_n+1=2^n-1+log22n=2^n-1+n，
∴數(shù)列{an+lo

g

2

an+1}的前n項和：
T_n=（1+2+2²+…+2^n-1）+（1+2+3+…+n）
=

1-2n

1-2

+

n(n+1)

2

=2ⁿ-1+

n(n+1)

2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要注意分組求和法的合理運用．