Question

20．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，過F₂且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF₁，PF₂，設(shè)∠F₁PF₂的角平分線PM交C的長軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，若k≠0，試證明$\frac{1}{k{k}_{1}}$+$\frac{1}{k{k}_{2}}$為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

分析 （1）把x=c代入橢圓方程得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，由已知過F₂且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，可得$\frac{2^{2}}{a}$=1．再利用e=$\frac{c}{a}$，及a²=b²+c²即可得出橢圓方程；
（2）設(shè)|PF₁|=t，|PF₂|=n，由角平分線的性質(zhì)可得$\frac{t}{n}$=$\frac{|M{F}_{1}|}{|{F}_{2}M|}$=$\frac{\sqrt{3}+m}{\sqrt{3}-m}$，利用橢圓的定義可得t+n=2a=4，消去t得n，再根據(jù)a-c＜n＜a+c，即可得到m的取值范圍；
（3）設(shè)P（x₀，y₀），不妨設(shè)y₀＞0，由橢圓方程，取y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$，利用導(dǎo)數(shù)即可得到切線的斜率，再利用斜率計(jì)算公式即可得到k₁，k₂，代入即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）把x=c代入橢圓方程得得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∵過F₂且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，
∴$\frac{2^{2}}{a}$=1．
又e=$\frac{c}{a}$，聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2^{2}}{a}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）如圖所示，設(shè)|PF₁|=t，|PF₂|=n，
由角平分線的性質(zhì)可得$\frac{t}{n}$=$\frac{|M{F}_{1}|}{|{F}_{2}M|}$=$\frac{\sqrt{3}+m}{\sqrt{3}-m}$，
又t+n=2a=4，消去t得到$\frac{4-n}{n}$=$\frac{\sqrt{3}+m}{\sqrt{3}-m}$，
化為n=$\frac{2（\sqrt{3}-m）}{\sqrt{3}}$，
∵a-c＜n＜a+c，即2-$\sqrt{3}$＜$\frac{2（\sqrt{3}-m）}{\sqrt{3}}$＜2+$\sqrt{3}$，
解得-$\frac{3}{2}$＜m＜$\frac{3}{2}$．
∴m的取值范圍為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
（3）證明：設(shè)P（x₀，y₀），
不妨設(shè)y₀＞0，由橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
取y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$，則y′=-$\frac{\frac{2x}{4}}{2\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}}$=-$\frac{x}{4\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}}$，
∴k=k_l=-$\frac{{x}_{0}}{4\sqrt{1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}}}$=-$\frac{{x}_{0}}{4{y}_{0}}$．
∵k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{3}}$，k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{3}}$，
∴$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$=$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
∴$\frac{1}{k{k}_{1}}$+$\frac{1}{k{k}_{2}}$=-$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}}$•$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$=-8為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線、斜率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力、分類討論的思想方法、計(jì)算能力、分析問題和解決問題的能力．