Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn).

(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：AR∥FQ；

(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可知 ，設(shè) 且 ，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)，求出方程，得到 ，進(jìn)而寫出直線的斜率為 ，直線的斜率為 利用 ，即可證明；

（Ⅱ）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，利用 的面積是的面積的兩倍，求出的坐標(biāo)，由kAB＝kDE可得＝ (x≠1).討論即可得到 中點(diǎn)的軌跡方程．

試題解析：

(1)證明　由題意可知F，

設(shè)l1：y＝a，l2：y＝b，且ab≠0，A，B，P，Q，

R.記過A，B兩點(diǎn)的直線為l，

則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0.

因?yàn)辄c(diǎn)F在線段AB上，所以ab＋1＝0，

記直線AR的斜率為k1，直線FQ的斜率為k2，

所以k1＝，k2＝＝－b，

又因?yàn)閍b＋1＝0，

所以k1＝＝＝＝＝－b，

所以k1＝k2，即AR∥FQ.

(2)解　設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為D(x1，0)，

所以S△ABF＝|a－b|FD＝|a－b|，

又S△PQF＝，所以由題意可得S△PQF＝2S△ABF

即：＝2××|a－b|·，

解得x1＝0(舍)或x1＝1.

設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y).

當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，

由kAB＝kDE可得＝ (x≠1).

又＝，所以y2＝x－1(x≠1).

當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合，

所以，所求軌跡方程為y2＝x－1.