Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+a（a為實(shí)常數(shù)）．設(shè)$h（x）=\frac{f（x）}{x}$，證明：當(dāng)a＜1時，h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析 求出函數(shù)h（x）的表達(dá)式和導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明即可．

解答 證明：∵f（x）=x²-2ax+a，
∴$h（x）=\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2ax+a}{x}$=x+$\frac{a}{x}$-2a，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)h′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a＜1時，x≥1得h′（x）＞0，即函數(shù)h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．