Question

17．求函數(shù)y=3sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{x}{2}$）的
（1）單調(diào)區(qū)間；
（2）最值及取得最值時的x的取值集合；
（3）對稱軸，對稱中心．

Answer 1

分析 （1）先將函數(shù)化為f（x）=-3sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$），再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）分別令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$或2kπ+$\frac{3π}{2}$，使得函數(shù)取最小值與最大值，從而求出x；
（3）分別令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$或kπ，求得函數(shù)的對稱軸和對稱中心．

解答 解：（1）f（x）=-3sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$），
令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，解得x∈[4kπ-$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{5π}{3}$]，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[4kπ-$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{5π}{3}$]（k∈Z）；
令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，解得x∈[4kπ+$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{11π}{3}$]，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[4kπ+$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{11π}{3}$]（k∈Z）；
（2）函數(shù)的最大值為3，此時sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）=-1，
令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得x=4kπ+$\frac{11π}{3}$（k∈Z）；
函數(shù)的最大值為-3，此時sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）=1，
令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=4kπ+$\frac{5π}{3}$（k∈Z）．
（3）令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=2kπ+$\frac{5π}{3}$，
即函數(shù)的對稱軸方程為：x=2kπ+$\frac{5π}{3}$（k∈Z）；
再令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=kπ，解得x=2kπ+$\frac{2π}{3}$，
即函數(shù)的對稱中心為（2kπ+$\frac{2π}{3}$，0）（k∈Z）；

點評 本題主要考查了三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的解法，涉及三角函數(shù)的圖象與性質，尤其是值域，對稱中心和對稱軸，屬于中檔題．