【題目】如圖,在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點.
(1)求證:BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45° ,求平面FGH與平面ACFD所成的角(銳角)的大小.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:
試題解析:(Ⅰ)根據(jù) 便可得到,從而可以得出四邊形 為平行四邊形,從而得到,便有 平面 再證明 平面 ,從而得到平面B 平面,從而 平面;
(Ⅱ)連接 ,根據(jù)條件能夠說明 三直線兩兩垂直,從而分別以這三直線為軸,建立空間直角坐標系,然后求出一些點的坐標.連接,可說明 為平面ACFD的一條法向量,設(shè)平面的法向量為
根據(jù) 即可求出法向量,設(shè)平面 與平面 所成的角為 ,根據(jù) 即可求出平面 與平面所成的角的大。
證明:
在三棱臺DEF-ABC中,
由BC=2EF,H為BC的中點,
可得BH∥EF,BH=EF,
所以四邊形BHFE為平行四邊形,
可得BE∥HF.在△ABC中,G為AC的中點,H為BC的中點,所以GH∥AB.
又GH∩HF=H,
所以平面FGH∥平面ABED.
因為BD平面ABED,
所以BD∥平面FGH.
(2)解 設(shè)AB=2,則CF=1.
在三棱臺DEF-ABC中,G為AC的中點,由DF=AC=GC,可得四邊形DGCF為平行四邊形,
因此DG∥FC,又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.
在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,G是AC中點.所以AB=BC,GB⊥GC,
因此GB,GC,GD兩兩垂直.以G為坐標原點,
建立如圖所示的空間直角坐標系G-xyz.
所以G(0,0,0),B(,0,0),C(0,,0),D(0,0,1).
可得H,F(xiàn)(0,,1),
故=,=(0,,1).
設(shè)n=(x,y,z)是平面FGH的一個法向量,
則由可得
可得平面FGH的一個法向量n=(1,-1,).
因為是平面ACFD的一個法向量,=(,0,0).
所以cos〈,n〉===.
所以平面FGH與平面ACFD所成角(銳角)的大小為60°.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x∈R),a為正實數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對,不等式恒成立,求正實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知曲線的極坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為,( 為參數(shù)).
(1)將兩曲線化成普通坐標方程;
(2)求兩曲線的公共弦長及公共弦所在的直線方程.
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【題目】(本小題滿分12分)已知拋物線的頂點在坐標原點,對稱軸為軸,焦點為,拋物線上一點的橫坐標為,且.
(Ⅰ)求此拋物線的方程;
(Ⅱ)過點做直線交拋物線于兩點,求證:.
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【題目】下列四個命題:
①殘差平方和越小的模型,擬合的效果越好;
②用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果,越小,說明模型擬合的效果越好;
③散點圖中所有點都在回歸直線附近;
④隨機誤差滿足,其方差的大小可用來衡量預報精確度.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【題目】如圖,在三棱臺ABCDEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求證:BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
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【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為,(t為參數(shù)).
(1)若a=-1,求C與l的交點坐標;
(2)若C上的點到l距離的最大值為,求a.
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【題目】某商場舉行抽獎活動,從裝有編號0,1,2,3四個球的抽獎箱中,每次取出后放回,連續(xù)取兩次,取出的兩個小球號碼相加之和等于6中特等獎,等于5中一等獎,等于4中二等獎,等于3中三等獎.
(1)求中二等獎的概率;
(2)求未中獎的概率.
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