Question

19．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M，N分別是A₁B₁，B₁C₁的中點(diǎn)，BC=CA=CC₁，求BM與AN所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 以C為原點(diǎn)，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線CC₁為z軸，利用向量法能求出BM與AN所成的角的余弦值．

解答 解：以C為原點(diǎn)，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線CC₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)BC=CA=CC₁=2，
則B（0，2，0），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），
M（1，1，2），C₁（0，0，2），N（0，1，2），A（2，0，0），
$\overrightarrow{BM}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{AN}$=（-2，1，2），
設(shè)BM與AN所成角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{BM}，\overrightarrow{AN}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{AN}|}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{AN}|}$=$\frac{|-2-1+4|}{\sqrt{6}•\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{6}}{18}$．
∴BM與AN所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．