Question

如圖，已知直線l與拋物線相切于點(diǎn)P（2，1），且與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）若動(dòng)點(diǎn)M滿足，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）若過點(diǎn)B的直線l'（斜率不等于零）與（1）中的軌跡C交于不同
的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），且，試求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知，所以l的斜率為y'_x=2=1，從而得到直線l的方程為y=x-1，點(diǎn)A坐標(biāo)為A（1，0），由此能求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）由題意，設(shè)l'的方程為y=k（x-2）（k≠0），由，得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0．由△＞0得．設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），再結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
解答：解：（1）∵，∴，
∴l(xiāng)的斜率為y'_x=2=1
∴直線l的方程為y=x-1
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為A（1，0）
設(shè)M（x、y），
則
由得
整理得--------（6分）
（2）由題意，設(shè)l'的方程為y=k（x-2）（k≠0）
由
得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0由△＞0得
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則①
∵，
∴x₁-2=λ（x₂-2）②
且0＜λ＜1
由①知，③
④
由②③④知：
∴
即
∵，
∴
解得  
又0＜λ＜1
∴--------------（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡的求解方法和求λ的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)的靈活運(yùn)用和韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．