Question

對任意實(shí)數(shù)x＞0，y＞0，若不等式x+

xy

≤a（x+2y）恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由x＞0，y＞0，可得：不等式x+

xy

≤a（x+2y）恒成立?a≥

x+ xy

x+2y

，令s=

x+ xy

x+2y

，則s=

1+ y x

1+2 y x

，令

y x

=t＞0，則s=

1+t

1+2t2

，化為2st²-t+s-1=0，此方程存在正的實(shí)數(shù)根，可知：

△=0 1 2s ＞0 s-1 2s ＞0

或

△＞0 s-1 2s ＜0

，解得即可．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，
∴不等式x+

xy

≤a（x+2y）恒成立?a≥

x+ xy

x+2y

，
令s=

x+ xy

x+2y

，則s=

1+ y x

1+2 y x

，
令

y x

=t＞0，則s=

1+t

1+2t2

，化為2st²-t+s-1=0，
∵上述方程存在正的實(shí)數(shù)根，則

△=0 1 2s ＞0 s-1 2s ＞0

或

△＞0 s-1 2s ＜0

，
解得a=

6 +2

4

．
∴a≥

6 +2

4

．
因此a的最小值為：

6 +2

4

．
故答案為：

6 +2

4

．

點(diǎn)評：本題考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法、換元法、一元二次方程有特殊根與判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．