Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³-4x²+5x-4，求經(jīng)過點(diǎn)A（2，-2）的曲線f（x）的切線方程．

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P（a，a³-4a²+5a-4），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出切線方程，而點(diǎn)A（2，-2）在切線上，列出關(guān)于a的方程，求解a，即可得到曲線的切線方程．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P（a，a³-4a²+5a-4），
∵f（x）=x³-4x²+5x-4，∴f′（x）=3x²-8x+5，
∴切線的斜率為f′（a）=3a²-8a+5，
由點(diǎn)斜式可得切線方程為y-（a³-4a²+5a-4）=（3a²-8a+5）（x-a），①
又根據(jù)已知，切線方程過點(diǎn)A（2，-2），
∴-2-（a³-4a²+5a-4）=（3a²-8a+5）（2-a），即a³-5a²+8a-4=0，
∴（a-1）（a²-4a+4）=0，即（a-1）（a-2）²=0，
解得a=1或a=2，
將a=1和a=2代入①可得，切線方程為y+2=0或x-y-4=0，
故經(jīng)過點(diǎn)A（2，-2）的曲線f（x）的切線方程為y+2=0或x-y-4=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時(shí)要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．關(guān)于曲線的切線問題，要注意審清題中的條件是“在”點(diǎn)處還是“過”點(diǎn)，是本題問題的易錯(cuò)點(diǎn)．屬于中檔題．