Question

在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，且（2b+c）cosA+acosC=0
（1）求角A的大�。�
（2）求2

3

cos²

C

2

-sin（

4π

3

-B）的最大值，并求取得最大值時(shí)角B，C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由條件利用正弦定理化簡(jiǎn)可得sinB（2cosA+1）=0，求得cosA的值，可得A的值．
（2）由條件求得0＜C＜

π

3

，化簡(jiǎn)2

3

cos²

C

2

-sin（

4π

3

-B）為

3

+2sin(C+

π

3

)，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得2

3

cos²

C

2

-sin（

4π

3

-B）的最大值，并求取得最大值時(shí)角B，C的值．

解答： 解：（1）∵（2b+c）cosA+acosC=0?，
∴2bcosA+ccosA+acosC=0，
再由正弦定理可得 2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC=0，
即2sinBcosA+sin（C+A）=0，
∴sinB（2cosA+1）=0，
在△ABC中，sinB≠0，
∴2cosA+1=0，即cosA=-

1

2

?，
又0＜A＜π，
∴A=

2

3

π．
（2）∵A=

2π

3

，∴B=

π

3

-C，0＜C＜

π

3

．
∵2

3

cos2

C

2

-sin(

4π

3

-B)=2

3

×

1+cosC

2

+sin(

π

3

-B)=

3

+2sin(C+

π

3

)，
∵0＜C＜

π

3

，∴

π

3

＜C+

π

3

＜

2π

3

，
∴當(dāng)C+

π

3

=

π

2

，2

3

cos2

C

2

-sin(

4π

3

-B)取最大值

3

+2，
此時(shí)B=C=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．