Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

x

e^x，a，b∈R，且a＞0．
（1）若a=2，b=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)g（x）=a（x-1）e^x-f（x）．
①當a=1時，對任意x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）≥1成立，求b的最大值；
②設(shè)g′（x）為g（x）的導函數(shù)，若存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，求

b

a

的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，可以判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進行求出極值；
（2）利用分離變量法，由已知變量的取值范圍求出參數(shù)的取值范圍，通過構(gòu)造新的函數(shù)，等價轉(zhuǎn)化，解決存在性問題，若存在x＞1，

b

a

=u(x)成立，即求出u（x）的最小值．

解答： 解：（1）當a=2，b=1時，f(x)=(2+

1

x

)ex，定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
∴f′(x)=

(x+1)(2x-1)

x2

ex，
令f′（x）＞0得：x＜-1或x＞

1

2

，令f′(x)＜0得-1＜x＜0或0＜x＜

1

2

，
∴函數(shù)y=f（x），在（-∞，-1）和(

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增，在（-1，0）和（0，

1

2

）上單調(diào)遞減；
∴f（x）的極大值是f(-1)=

1

e

，極小值是f(

1

2

)=4

e

；
（2）g（x）=（ax-

b

x

-2a）e^x，
①當a=1時，g（x）=(x-

b

x

-2)ex，
∵g（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴b≤x2-2x-

x

ex

在x∈（0，+∞）上恒成立．
記h(x)=x2-2x-

x

ex

，（x＞0），則h′(x)=

(x-1)(2ex+1)

ex

，
當0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
當x＞1時，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
∴h′(x)min=h(1)=-1-e-1，
∴函數(shù)的小值為-1-e^-1．
②∵g(x)=(ax-

b

x

-2a)ex，所以g′(x)=(

b

x2

+ax-

b

x

-a)ex，
由g（x）+g′（x）=0，得(ax-

b

x

-2a)ex+(

b

x2

+ax-

b

x

-a)ex=0，
整理得2ax³-3ax²-2bx+b=0．
存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，
等價于存在x＞1，2ax³-3ax²-2bx+b=0成立，
∵a＞0，∴

b

a

=

2x3-3x2

2x-1

，
設(shè)u(x)=

2x3-3x2

2x-1

（x＞1），則u′(x)=

8x[(x- 3 4 )2+ 3 16 ]

(2x-1)2

，
∵x＞1，∴u′（x）＞0恒成立，∴u（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴u（x）＞u（1）=-1，
∴

b

a

＞-1，即

b

a

的取值范圍為（-1，+∞）．

點評：本題考查了，利用導數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的極值，構(gòu)造函數(shù)，利用化歸，等價轉(zhuǎn)化思想，解決恒成立問題和存在性的問題，這是常考的題型，也是高考的熱點．平時要多多留意．