Question

已知{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁•a₂=2，a₃•a₄=32．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{b_n}的前n項為S_n=n²（n∈N^*），求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用等比數(shù)列的通項公式，列出方程組，求出首項和公比，由此求出首項和公比，從而能求出an=2n-1．
（Ⅱ）由已知條件推導出b_n=S_n-S_n-1=2n-1，從而得到a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，由此利用錯位相減法能求出Tn=(2n-3)•2n+3．

解答： 解：（Ⅰ）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₁•a₂=2，a₃•a₄=32，
∴

a12q=2 a12q5=32

，
由a₁＞0，q＞0，解得a₁=1，q=2，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）由Sn=n2，得S_n-1=（n-1）²，
∴當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=2n-1，
∴當n=1時，b₁=1符合上式，
∴b_n=2n-1，n∈N^*．
∴a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，
T_n=1+3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1，
2T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
兩式相減，得-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=-（2n-3）•2ⁿ-3，
∴Tn=(2n-3)•2n+3．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．