Question

4．如圖所示，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦BC于點(diǎn)F，且交⊙O于點(diǎn)E，若BD是⊙O的切線且∠BDO=∠EAB．
（Ⅰ）求證：AB∥CE；
（Ⅱ）當(dāng)OF=1cm，F(xiàn)D=3cm時(shí)，求∠OEC的度數(shù)和CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明∠ABC=∠EAB，可得$\widehat{AC}$=$\widehat{BE}$，即可證明AB∥CE；
（Ⅱ）當(dāng)OF=1cm，F(xiàn)D=3cm時(shí)，求出OB，即可求∠OEC的度數(shù)，證明OACE是平行四邊形，即可求出CE的長(zhǎng)．

解答 （Ⅰ）證明：∵BD是⊙O的切線，
∴OB⊥BD，
∵OD⊥BC，
∴∠ABC=∠BDO，
∵∠BDO=∠EAB，
∴∠ABC=∠EAB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BE}$，
∴AB∥CE；
（Ⅱ）解：∵OF=1cm，F(xiàn)D=3cm，
∴OB²=OF•OD=4，
∴OB=2，
∵OF=1，
∴∠BOF=60°，
∵AB∥CE，
∴∠OEC=∠BOF=60°
∵AC⊥BC，OE⊥BC，
∴AC∥OE，
∵AB∥CE，
∴OACE是平行四邊形，
∴CE=OA=2cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查射影定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．