設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列{an}的集合:①, ②.其中,是與無(wú)關(guān)的常數(shù).
(Ⅰ)若{}是等差數(shù)列,是其前項(xiàng)的和,,,證明:;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}的通項(xiàng)為,且,求的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正整數(shù),且.證明.
(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)M≥7(Ⅲ)見(jiàn)解析
解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{}的公差是d,則,解得,
所以         (2分)
=-1<0
適合條件①;
所以當(dāng)n=4或5時(shí),取得最大值20,即≤20,適合條件②
綜上,                 (4分)
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232338169711130.png" style="vertical-align:middle;" />,所以當(dāng)n≥3時(shí),,此時(shí)數(shù)列{bn}單調(diào)遞減;當(dāng)n=1,2時(shí),,即b1<b2<b3,因此數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)是b3=7
所以M≥7              (8分)
(Ⅲ) 假設(shè)存在正整數(shù)k,使得成立
由數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正整數(shù),可得,即
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233817268730.png" style="vertical-align:middle;" />,所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232338173302233.png" style="vertical-align:middle;" />
……………………依次類推,可得
設(shè)
這顯然與數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正整數(shù)矛盾!
所以假設(shè)不成立,即對(duì)于任意n∈N*,都有成立.          ( 14分)
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A.B.
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