Question

定義在R上的函數(shù)f(x)=e|x|+x

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，且f（x+t）＞f（x）在x∈（-1，+∞）上恒成立，則關(guān)于x的方程f（x）=f（t）-e的根的個數(shù)敘述正確的是（　�。�

• A、有兩個
• B、有一個
• C、沒有
• D、上述情況都有可能

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，確定t的取值范圍，然后根據(jù)函數(shù)f（x）和y=f（t）-e的關(guān)系，即可求出方程根的個數(shù)．

解答： 解：∵函數(shù)f(x)=e|x|+x

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為偶函數(shù)，當(dāng)且當(dāng)x≥0時，函數(shù)f（x）=ex+x

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單調(diào)遞增，
∴f（x）≥f（0）=1，
要使函數(shù)f（x+t）＞f（x）在x∈（-1，+∞）上恒成立，
則等價為f（|x+t|）＞f（|x|）在x∈（-1，+∞）上恒成立，
即|x+t|＞|x|在x∈（-1，+∞）上恒成立，
平方得x²+2tx+t²＞x²，即2tx＞-t²成立．
若t=0，不等式不成立．
若t＜0，不等式2tx＞-t²等價為x＜-

t

2

，此時不滿足在x∈（-1，+∞）上恒成立．
若t＞0，不等式2tx＞-t²等價為x＞-

t

2

，此時要使在x∈（-1，+∞）上恒成立．
則-

t

2

≤-1，解得t≥2．
則f（t）-e=et+t

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-e，
∵t≥2，
∴f（t）-e=et+t

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-e＞e²+1-e＞1，
∴函數(shù)f（x）與y=f（t）-e有兩個交點，
即方程f（x）=f（t）-e的根的個數(shù)為2個．
故選：A．

點評：本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系判斷t的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想，綜合性較強．