Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b），其中0＜a＜b．
（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)A（s，f（s）），B（t，f（t））處取得極值，且s＜t．求證：
①0＜s＜a＜t＜b；
②線(xiàn)段AB的中點(diǎn)C在曲線(xiàn)y=f（x）上；
（2）若a+b＜2

2

，問(wèn)：過(guò)原點(diǎn)且與曲線(xiàn)y=f（x）相切的兩條直線(xiàn)是否垂直，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）①依題意，s，t（s＜t）為方程f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab=0的兩個(gè)實(shí)根，計(jì)算f′（0）=ab＞0，f′（a）=a（a-b）＜0，f′（b）=b（b-a）＜0，可得f′（x）=0在區(qū)間（0，a）和（a，b）內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根，即可得出結(jié)論；
②證明f（s）+f（t）=2f（

s+t

2

），即證線(xiàn)段AB的中點(diǎn)C在曲線(xiàn)y=f（x）上；
（2）過(guò)原點(diǎn)且與曲線(xiàn)y=f（x）相切的兩條直線(xiàn)不垂直，即證兩條切線(xiàn)斜率之積不等于-1．

解答： （1）證明：①依題意，s，t（s＜t）為方程f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab=0的兩個(gè)實(shí)根，
而f′（0）=ab＞0，f′（a）=a（a-b）＜0，f′（b）=b（b-a）＜0，
故f′（x）=0在區(qū)間（0，a）和（a，b）內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根，
所以0＜s＜a＜t＜b；
②由①得，s+t=

2(a+b)

3

，st=

ab

3

，
因?yàn)閒（s）+f（t）=-

4

27

（a+b）³+

2

3

ab（a+b），f（

s+t

2

）=-

2

27

（a+b）³+

1

3

ab（a+b），
所以f（s）+f（t）=2f（

s+t

2

），
即證線(xiàn)段AB的中點(diǎn)C在曲線(xiàn)y=f（x）上；
（2）解：過(guò)原點(diǎn)且與曲線(xiàn)y=f（x）相切的兩條直線(xiàn)不垂直，理由如下：
設(shè)過(guò)曲線(xiàn)y=f（x）上一點(diǎn)P（x₁，y₁）的切線(xiàn)方程為：y-y₁=[3x₁²-2（a+b）x₁+ab]（x-x₁），
因?yàn)榍芯�(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，所以y₁=[3x₁²-2（a+b）x₁+ab]x₁，
又y₁=x₁（x₁-a）（x₁-b），
所以[3x₁²-2（a+b）x₁+ab]x₁=x₁（x₁-a）（x₁-b），
解得x₁=0，或x₁=

a+b

2

，
當(dāng)x₁=0時(shí)，切線(xiàn)的斜率為ab；當(dāng)x₁=

a+b

2

時(shí)，切線(xiàn)的斜率為ab-

(a+b)2

4

；
因?yàn)?＜a＜b，且a+b＜2

2

，
所以?xún)蓷l切線(xiàn)斜率之積為：
ab[ab-

(a+b)2

4

]≥（ab）²-2ab=（ab-1）²-1≥-1，
所以過(guò)原點(diǎn)且與曲線(xiàn)y=f（x）相切的兩條直線(xiàn)不垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度中等．