【題目】已知橢圓的離心率,且橢圓過點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)直線交于,兩點(diǎn),點(diǎn)上,是坐標(biāo)原點(diǎn),若,判斷四邊形的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

(1)根據(jù)離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo),建立方程組求解橢圓的方程;(2)寫出四邊形的面積表達(dá)式,結(jié)合表達(dá)式的特征進(jìn)行判斷.

解:(1)因?yàn)闄E圓的離心率,所以,即.

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以.

,

解得.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時,直線的方程為,此時四邊形的面積為.

當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程是,

聯(lián)立方程組,消去,得,

,,

.

,

點(diǎn)到直線的距離是.

,得,.

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,所以有,整理得.

由題意,四邊形為平行四邊形,所以四邊形的面積為

.

,得,故四邊形的面積是定值,其定值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某大城市一家餐飲企業(yè)為了了解外賣情況,統(tǒng)計了某個送外賣小哥某天從9:00到21:00這個時間段送的50單外賣.以2小時為一時間段將時間分成六段,各時間段內(nèi)外賣小哥平均每單的收入情況如下表,各時間段內(nèi)送外賣的單數(shù)的頻率分布直方圖如下圖.

時間區(qū)間

每單收入(元)

6

5.5

6

6.4

5.5

6.5

(Ⅰ)求頻率分布直方圖中的值,并求這個外賣小哥送這50單獲得的收入;

(Ⅱ)在這個外賣小哥送出的50單外賣中男性訂了25單,且男性訂的外賣中有20單帶飲品,女性訂的外賣中有10單帶飲品,請完成下面的列聯(lián)表,并回答是否有的把握認(rèn)為“帶飲品和男女性別有關(guān)”?

帶飲品

不帶飲品

總計

總計

附:

0.050

0.010

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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【題目】記無窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為,最小值為,令

(1)若,寫出,,的值;

(2)設(shè),若,求的值及時數(shù)列的前項(xiàng)和;

(3)求證:“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列是等差數(shù)列”.

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【題目】在四棱錐中,平面平面,底面為矩形,,,,、分別為線段、上一點(diǎn),且,.

(1)證明:;

(2)證明:平面,并求三棱錐的體積.

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【題目】已知雙曲線C:(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,右頂點(diǎn)為(1,0).

(1)求雙曲線C的方程;

(2)已知直線y=x+m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)為,當(dāng)x0≠0時,求的值.

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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=2,AB//DC,AB=2CD,∠BCD=90°.

(1)求證:AD⊥PB;

(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離.

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【題目】七巧板是古代中國勞動人民發(fā)明的一種中國傳統(tǒng)智力玩具,它由五塊等腰直角三角形,一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成.清陸以湉《冷廬雜識》卷一中寫道:近又有七巧圖,其式五,其數(shù)七,其變化之式多至千余.體物肖形,隨手變幻,蓋游戲之具,足以排悶破寂,故世俗皆喜為之.如圖是一個用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為( )

A. B. C. D.

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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為;直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線與曲線分別交于兩點(diǎn).

(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;

(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求的值.

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【題目】如圖1,在矩形中,,,點(diǎn)、分別在線段、上,且,,現(xiàn)將沿折到的位置,連結(jié),,如圖2

1)證明:

2)記平面與平面的交線為.若二面角,求與平面所成角的正弦值.

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