【題目】記無窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令．

（1）若，寫出，，，的值；

（2）設(shè)，若，求的值及時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）求證：“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列是等差數(shù)列”．

【答案】（1），（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）分別計(jì)算出，，，結(jié)合題意即可得b1，b2，b3，b4的值；

（2）由新定義，可得λ＞0，考慮三種情況求得λ，檢驗(yàn)可得所求λ；進(jìn)而得到bn，由數(shù)列的分組求和，可得所求和；

（3）充分性易證，無論d為何值，始終有bn，即可證得結(jié)果，必要性須分類證明．

解：（1） 因?yàn)?/span>，所以，

所以，

（2），

當(dāng)時(shí)，，無解；

當(dāng)時(shí)，，無解；

當(dāng)時(shí)，,解得；

當(dāng)時(shí)，無解，

此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)遞增，

，

所以當(dāng)時(shí)，

（3）必要性：數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.

當(dāng)時(shí)是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)是常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列；

都有，

所以數(shù)列是等差數(shù)列.

充分性：數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為

則，

由題意知，，

當(dāng)時(shí)，對任意都成立，

即，所以是遞增數(shù)列，

，

所以是公差為的等差數(shù)列，

當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而

所以是遞減數(shù)列，，

，

所以是公差為的等差數(shù)列

當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>與中至少有一個(gè)為，所以二者都為，

進(jìn)而得為常數(shù)列，

綜上，充分性成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；

（2）若曲線與曲線，在第一象限分別交于兩點(diǎn)，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】拋物線：過點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)為軸上一點(diǎn)，為拋物線上任意一點(diǎn)，求的最小值；

（3）過拋物線的焦點(diǎn)，作相互垂直的兩條弦和，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，且為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為，且經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓的下頂點(diǎn)為，如圖所示，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)的直線垂直于，且與交于兩點(diǎn)，與交于點(diǎn)，四邊形和的面積分別為．求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，四棱錐中，底面為正方形， 平面， ，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).

(1)求證： ；

(2)求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是圓上的任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)且與軸垂直的直線，是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知點(diǎn)，過的直線交曲線于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn).判定直線的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，且橢圓過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判斷四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公園有個(gè)池塘，其形狀為直角△ABC，，AB的長為2百米，BC的長為1百米.

（1）若準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D、E、F，如圖（1），使得，，在△DEF內(nèi)喂食，求當(dāng)△DEF的面積取最大值時(shí)EF的長；

（2）若準(zhǔn)備建造一個(gè)荷塘，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D、E、F，如圖（2），建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，記，求△DEF邊長的最小值及此時(shí)的值.（精確到1米和0.1度）

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同步練習(xí)冊答案