Question

市場營銷人員對過去幾年某商品的價格及銷售數(shù)量的關(guān)系作數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：該商品的價格每上漲x%（x＞0），銷售量就減少kx%（其中k為正常數(shù)）．目前，該商品定價a元，統(tǒng)計其銷售數(shù)量為b個．
（1）當k=

1

2

時，該商品的價格上漲多少，就能使銷售的總金額達到最大？
（2）在適當?shù)臐q價過程中，求使銷售總金額不斷增加時的k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）當k=

1

2

時，減函數(shù)函數(shù)關(guān)系式即可．
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解析：（1）當k=

1

2

時，銷售的總金額y=a（1+x%）?b（1-kx%）=-

ab

2

（x%+1）（x%-2）
=-

ab

2

（x%-

1

2

）²+

9

8

ab≤

9

8

ab，
答：該商品的價格上漲50%的時候，銷售的總金額達到最大值

9

8

ab元．
（2）y=a（1+x%）?b（1-kx%）=ab（1+x%）（1-kx%）=

ab

10000

[kx²-100（k-1）x+10000]（k＞0）
據(jù)題意，就是使函數(shù)在（0，+∞）上單增，則

100(k-1)

2k

≤0⇒0＜k≤1
答：使銷售總金額不斷增加時的k的取值范圍是（0，1]．

點評：本題主要考查函數(shù)的應用問題，根據(jù)條件建立二次函數(shù)關(guān)系結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．