Question

如圖，已知AD為圓O的直徑，直線BA與圓O相切于點A，直線OB與弦AC垂直并相交于點G，與弧AC相交于M，連接DC，AB=10，AC=12．
（1）求證：BA•DC=GC•AD；
（2）求OA．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）要證BA•DC=GC•AD，只需證

BA

AD

=

GC

DC

，由OG⊥AC，得GC=AG；即證

BA

AD

=

AG

DC

，由Rt△AGB∽Rt△DCA即可；
（2）由AC得AG，由AB求得BG；由Rt△AGB～Rt△DCA，求得AD，即圓的直徑，從而得OA的值．

解答： 解：（1）證明：∵AC⊥OB，∴∠AGB=90°；
又AD是⊙O的直徑，∴∠DCA=90°；
又∵∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所對的圓周角），
∴Rt△AGB∽Rt△DCA；
∴

BA

AD

=

AG

DC

；
又∵OG⊥AC，∴GC=AG；
∴

BA

AD

=

GC

DC

，即BA•DC=GC•AD．
（2）∵AC=12，∴AG=6；
∵AB=10，∴BG=

AB2-AG2

=8；
由（1）知，Rt△AGB～Rt△DCA，
∴

AB

AD

=

BG

AC

，
∴AD=15，即圓的直徑2r=15，
∴OA=7.5．

點評：本題考查了與圓有關(guān)的幾何證明和計算問題，也考查了邏輯推理能力與空間想象能力，是基礎(chǔ)題目．