Question

已知：矩陣A=

a 1 1 2

，B=

2 3       b - 1 3      2 3

（Ⅰ）若a=2，求矩陣A的特征值和特征向量；
（Ⅱ）若矩陣A與矩陣B為互逆矩陣，求a，b．

Answer 1

考點(diǎn)：特征值與特征向量的計(jì)算,逆變換與逆矩陣

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）利用特征多項(xiàng)式，求特征值，進(jìn)而可求特征向量；
（Ⅱ）若矩陣A與矩陣B為互逆矩陣，則AB=E，利用待定系數(shù)法，可求a，b．

解答： 解：（Ⅰ）特征多項(xiàng)式f（λ）=（λ-2）²-1=λ²-4λ+3，
由f（λ）=0，解得λ₁=1，λ₂=3．
將λ₁=1代入

(λ-2)x-y=0 -x+(λ-2)y=0

得x+y=0，令x=1，得y=-1，
則特征值λ₁=1對應(yīng)的一個(gè)特征向量為

1 -1

．
當(dāng)λ₂=3時(shí)，得x-y=0，特征值λ₂=3對應(yīng)的一個(gè)特征向量為

1 1

．
（Ⅱ）因?yàn)锳B=E，即

a 1 1 2

2 3 b - 1 3 2 3

=

1 0 0 1

，
所以

2 3 a- 1 3 =0 ab+ 2 3 =0

解得

a=2 b=- 1 3

點(diǎn)評：本題考查了矩陣特征值與特征向量的計(jì)算等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題．