Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l：y=2x-4上．
（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過(guò)點(diǎn)B（2，4）作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：綜合題,直線與圓

分析：（1）聯(lián)立直線l與直線y=x-1解析式，求出方程組的解得到圓心C坐標(biāo)，根據(jù)A坐標(biāo)設(shè)出切線的方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出切線方程即可；
（2）設(shè)M（x，y），由MA=2MO，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點(diǎn)M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據(jù)兩圓的半徑長(zhǎng)，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）由

y=2x-4 y=x-1

，可得

x=3 y=2

，
∴圓心C（3，2）．
若k不存在，x=2，滿足題意；
若k存在，設(shè)切線為：y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，可得圓心到切線的距離d=r，
即

|3k-2+4-2k|

k2+1

=1，
解得：k=-

3

4

，
∴切線的方程為x=2或y-4=-

3

4

(x-2)；
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y），由MA=2MO，知：

x2+(y-3)2

=2

x2+y2

，
化簡(jiǎn)得：x²+（y+1）²=4，
∴點(diǎn)M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，
又∵點(diǎn)M在圓C上，
∴圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=

a2+(2a-3)2

，
∴1≤

a2+(2a-3)2

≤3，
解得：0≤a≤

12

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的切線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，涉及的知識(shí)有：兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)間的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．