Question

設(shè)a＞0為常數(shù)，函數(shù)f（x）=

x

-ln（x+a）
（1）當(dāng)a=

3

4

時，求f（x）的極大值和極小值；
（2）若使函數(shù)f（x）為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把a=

3

4

代入函數(shù)解析式，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到極值點，把極值點的橫坐標(biāo)代入原函數(shù)求得極值；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于等于0得到不等式x+a-2

x

≥0，分離參數(shù)a后求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=

3

4

時，f（x）=

x

-ln（x+

3

4

），
函數(shù)的定義域為[0，+∞）．
對f（x）求導(dǎo)得，f′(x)=

1

2 x

-

1

x+ 3 4

（x＞0）．
由f′（x）＞0，得

4x+3-8 x

2 x (4x+3)

＞0，
即4x+3-8

x

＞0．
解得：0＜x＜

1

4

或x＞

9

4

．
由f′（x）＜0，得

1

4

＜x＜

9

4

．
∴f（x）在x=

1

4

時有極大值，極大值為f（

1

4

）=

1

2

．
f（x）在x=

9

4

時有極小值，極小值為f（

9

4

）=

3

2

-ln3．
（2）由f（x）=

x

-ln（x+a），
得f′(x)=

1

2 x

-

1

x+a

=

x+a-2 x

2 x (x+a)

，
若使函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
則x+a-2

x

≥0在[0，+∞）上恒成立，
即a≥-x+2

x

在[0，+∞）上恒成立，
∵-x+2

x

=-(

x

-1)2+1≤1，
又a＞0，
∴a≥1．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，訓(xùn)練了分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．