Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnx（b∈R），g（x）.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調性

（2）是否存在實數(shù)b使得函數(shù)y＝f（x）在x∈（，+∞）上的圖象存在函數(shù)y＝g（x）的圖象上方的點？若存在，請求出最小整數(shù)b的值，若不存在，請說明理由.（參考數(shù)據(jù)ln2＝0.6931，1.6487）

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）存在，最小b的整數(shù)值為2

【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分類討論可得函數(shù)的單調性；

（2）假設存在實數(shù)使得函數(shù)在上的圖象有在函數(shù)的圖象上方的點，則使不等式成立，即成立，令，求新函數(shù)的最值即可判斷.

（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且f′（x），

當b≤0時、f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

當b＞0時，若0＜x＜b，則f′（x）＜0，若x＞b，則f′（x）＞0，

函數(shù)f（x）在（0，b）上單調遞減，在（b，+∞）上單調遞增，

綜上得：當b≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

當b＞0時，函數(shù)f（x）在（0，b）上單調遞減，在（b，+∞）上單調遞增；

（2）假設存在實數(shù)b滿足題意，則存在x∈（，+∞）

使不等式lnx成立，

即b＞ex﹣xlnx成立，

令h（x）＝ex﹣xlnx，則h′（x）＝ex﹣lnx﹣1，

令φ（x）＝ex﹣lnx﹣1，則φ′（x）＝ex，

因為φ′（x）在（，+∞）上單調遞增、且φ′（）2＜0，φ′（1）＝e﹣1＞0，

且φ'（x）的圖象在（，1）上連續(xù)，

所以存在x0∈（，1）使φ′（x0）＝0.即0，即x0＝﹣lnx0，

當x∈（，x0）時，φ（x）單調遞減，當x∈（x0，+∞）時，φ（x）單調遞增，

則φ（x）的最小值φ（x0）lnx0﹣1＝x01≥21＝1＞0，

所以h'（x）＞0，h（x）在區(qū)間（，+∞）內單調遞增，

所以h（x）＞h（）lnln2＝1.9952

所以存在實數(shù)b滿足題意，且最小b的整數(shù)值為2.