Question

對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a，已知關(guān)于x的方程xe^x=a的解存在．
（1）證明：該方程的解唯一；
（2）若將該方程的解記為Iwa，則我們可以用符號(hào)“Iw”來表示一些方程的解，例如方程（2x+1）•e^2x+1=3的解為

-1+Iw3

2

．試解方程2^x=-7x．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）方程xe^x=a的解，即為函數(shù)f（x）=xe^x-a的根，根據(jù)極限思想和導(dǎo)數(shù)法分析出函數(shù)f（x）=xe^x-a僅在（-1，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，可得結(jié)論．
（2）若2^x=-7x，則-x•2-x=

1

7

，則-x•(eln2)-x=

1

7

，則-xln2•(e)-xln2=

ln2

7

，進(jìn)而得到答案．

解答： 證明：（1）方程xe^x=a的解，即為函數(shù)f（x）=xe^x-a的零點(diǎn)，
∵f′（x）=（x+1）e^x，
∴當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x＞-1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值-

1

e

-a，
∵a＞0，
∴-

1

e

-a＜0，

lim

x→-∞

f（x）=-a＜0，

lim

x→+∞

f（x）=+∞，
故函數(shù)f（x）=xe^x-a僅在（-1，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程xe^x=a的解唯一；
解：（2）若2^x=-7x，則-x•2-x=

1

7

，
則-x•(eln2)-x=

1

7

，
則-xln2•(e)-xln2=

ln2

7

，
則x=-

Iw ln2 7

ln2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，且新概率比較難理解，屬于難題．